Σε ένα μπολ, βάζουμε τον κιμά, το αυγό, το ξερό κρεμμύδι, τα σκορδά, το φρέσκο κρεμμύδι, το καρότο, τον άνηθο, το ελαιόλαδο, το αλάτι και το πιπέρι.

Ζυμώνουμε πολύ καλά τα υλικά, για περίπου ένα λεπτό.

Πλάθουμε μικρές μπαλίτσες (να έχει μέγεθος όσο ένα ντοματίνι) και τις τοποθετούμε σε μια πιατέλα ή πιάτο.

Τοποθετούμε μια κατσαρόλα πάνω στη φωτιά , προσθέτουμε το νερό και αφήνουμε να πάρει βράση.

Ρίχνουμε μέσα τα λιγκουίνι μαζί με όλα τα κεφτεδάκια, αλατίζουμε και αφήνουμε να βράσουν για περίπου 12 με 14 λεπτά (βλέπουμε το χρόνο μαγειρέματος της συσκευασίας από τα ζυμαρικά).

Σβήνουμε την φωτιά σουρώνουμε σχεδόν όλο το νερό και κρατάμε περίπου ένα ποτήρι του νερού.

Στην ίδια κατσαρόλα τοποθετούμε το βούτυρο τα λιγκουίνι μαζί με τα κεφτεδάκια, το τριμμένο τυρί και το ζεστό νερό που κρατήσαμε απο το βράσιμο των ζυμαρικών.

Ανακατεύουμε πολύ καλά τα ζυμαρικά μαζί με τα κεφτεδάκια, το τιμημένο τυρί και το βούτυρο, όσο είναι ακόμα ζεστά, με απαλές κινήσεις ώστε να μην διαλύσουμε τα κεφτεδάκια.

Σερβίρουμε με φρεσκοτριμμένο τυρί, πιπέρι και φρέσκο άνηθο.